前面針對第一則悖論的分析結束了嗎？還沒！！
再嚴謹一點來看，前一篇文章裡的這句話：
「當小孩子是一男一女時，帶出來的小孩是男生的機率為1/2，因此海綿寶寶能夠看到男生的機率為1/2。」隱含著老師會隨機帶其中一個小孩出門。
但若我們得知以下資訊：老師是屬於較傳統的重男輕女家庭，如果只能選一個小孩帶出門，他必定會選男生，當然如果兩個都是男生，那麼就會隨便選一個帶出門。
這時海綿寶寶看到了老師帶出來的小孩是男生，那麼另一位也是男生的機率是多少？
答案是：1/3 。 因為不管是一男一女還是兩男，海綿寶寶會看到男生的機率都是1，因此將前面貝氏定理的數值改一下，會得到這個答案。
我只能說：機率統計真的不簡單！如果我們總是不太嚴謹地去計算、估計機率，那麼很有可能會得到不太容易察覺的錯誤結果。
這一則悖論是之前參加高雄大學黃文璋教授的研習，他提出的例子，當時只略微帶過，沒有講得很詳細，也沒有點出矛盾之處，我當時並沒有意會過來這則例子答案選（B）1/3 有什麼不妥，直到最近要準備教高三選修數學（I），其中提到貝氏定理，我才發覺直接由（男，男）、（男，女）、（女，男）而得到1/3 的結果是有問題的。能夠發覺自己的錯誤而得到改進，這種感覺真棒！！
如果可能的話，在教學上老師偶而要對學生提出挑戰，讓他們經歷自我認知衝突之後，自己體驗將錯誤觀念修正的感覺，如果能夠多一些這樣的經驗，學生應該可以得到更多的學習樂趣。
順便把第2、3兩則悖論分析一下：
2.玲木一朗安打問題：
關鍵是球隊輸球的時候，他打安打的比例不見得比贏球的時候低。例如：
既然球隊勝率6成，且贏的場次共50場，因此輸的場次約33場。
既然贏球的時候，他有8成的機率會打安打，那麼我們不妨就假設輸球的時候，他有9成以上的機率會打安打，就假設33場中有32場他都有打安打吧！
那麼他有打安打的場次共有40+32=72，其中球隊贏球的場次有40場，佔了72場的5/9，也就是當他打安打的時候，球隊的勝率大約55%左右，但是球隊總體的勝率是60%，這代表他不打安打的時候，球隊反而更容易獲勝！很突兀吧！
其實這一題同樣可以使用貝氏定理來計算。當他打安打的時候，球隊獲勝的機率為：
分子：球隊獲勝且他打了安打的機率----等於 (50/83) ×(40/50)=40/83
分母：他打安打的機率，分成兩部分來計算
球隊獲勝且他打了安打的機率----等於(50/83) ×(40/50)=40/83
球隊輸球且他打了安打的機率----等於(33/83) ×(32/33)=32/83
相加得 40/83 + 32/83 =72/83
分子除以分母得到40/72=5/9 。
3.班級平均問題，答案是：不一定。這則悖論告訴我們，資料合併時，機率（或統計值）不可以直接相加。
這一則悖論是經過改編的，原本的悖論在當時被排斥機率論的學者提出來攻擊機率論，他們認為機率論是不嚴謹的、矛盾的、謬誤的。
直觀的感覺認為，若將兩班的學生分別分成男、女生兩群來比較成績，男生之中甲班比乙班低，女生之中甲班也比乙班低，那麼合起來甲班應該比乙班低。
但是我們隨便可以舉出反例，例如甲班是自然組，男生25人，平均60分，女生5人，平均48分；乙班是社會組，男生5人，平均62分，女生25人，平均50分。
由加權平均算得甲班平均是58分，乙班平均是52分。甲班反而比較高。
其實我們還可以這樣想：甲班的男生不見得要跟乙班的男生比，他們可以跟乙班的女生比，此時甲班男生的成績比乙班女生的成績高得多了，而且人數佔全班的比例很高，這樣就可以知道為何會有這種現象了。
因為要吃飯了，就寫到這裡。我們家中午吃飯時間越來越早，現在才11點15分......
留言列表
